Formulaires_Opérateurs
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Visibilité Visibility: Archive publique
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Description
FORMULAIRE RELATIF AUX OPÉRATEURS
r r
Soient U et V deux champs scalaires et a et b deux champs vectoriels.
1. Formules portant sur un seul champ:
r r r2 →
1. ∇.(∇ U) = ∇ U soit div(grad U) = ∆U
r r r → → r
2. ∇ ∧ (∇U) = 0 soit rot (grad U) = 0
r r r r →r r
3. ∇ . ( ∇ ∧ a ) = 0 soit div( rot a ) = 0
r r r r r r r 2r → →r → r r
4. ∇ ∧ (∇ ∧ a ) = ∇( ∇. a ) − ∇ a soit rot (rot a ) = grad(div a ) − ∆ a
2. Formules portant sur deux champs:
r r r → → →
5. ∇ (UV) = V ∇ (U) + U ∇ (V) soit grad(UV) = V grad U + U grad V
r r r r r r r → r r
6. ∇. (U a) = a (∇U) + U ( ∇. a ) soit div(U a ) = grad U. a + U div a
r r r r r r → r → r → r
7. ∇ ∧ (U a ) = ( ∇U) ∧ a + U (∇ ∧ a) soit rot (U a ) = grad U ∧ a + U rot a
r r r r r r r r r r r r →r r →r
8. ∇. ( a ∧ b) = b. ( ∇ ∧ a ) − a. (∇ ∧ b) soit div( a ∧ b) = b. rot a − a . rot b
r r r r r r rr r r r r rr r
9. ∇ ∧ ( a ∧ b) = ( ∇. b) a − ( ∇. a ) b + ( b.∇ ) a − ( a.∇ ) b
→ r r r r r r r → r r → r
soit rot ( a ∧ b) = (div b) a − (div a ) b + ( b. grad ) a − ( a. grad) b
r rr r r r r r r r r r rr r
10. ∇ ( a . b) = a ∧ (∇ ∧ b) + b ∧ (∇ ∧ a ) + ( b.∇ ) a + ( a.∇ ) b
→ rr r →r r →r r → r r → r
soit grad( a . b) = a ∧ (rot b) + b ∧ ( rot a) + ( b. grad ) a + ( a. grad) b
3. Expressions des opérateurs dans divers systèmes de coordonnées:
a. Gradient:
→ ∂ U r ∂ U r ∂ U r
* cartésiennes: grad U = ex + ey + ez
∂x ∂y ∂z
→ ∂ U r 1 ∂ U r ∂ U r
* cylindriques: grad U = er + eθ + ez
∂r r ∂θ ∂z
→ ∂U r 1 ∂ U r 1 ∂ U r
* sphériques: grad U = er + eθ + eϕ
∂r r ∂θ r sin θ ∂ ϕ
b. Divergence:
r ∂a ∂ a ∂ a
* cartésiennes: div a = x + y + z
∂x ∂ y ∂z
r 1 ∂ r ar 1 ∂ aθ ∂ az
* cylindriques: div a = + +
r ∂ r r ∂θ ∂ z
r 1 ∂ r 2 ar 1 ∂ a θ sin θ 1 ∂ aϕ
* sphériques: div a = + +
r 2 ∂ r r sin θ ∂ θ r sin θ ∂ ϕ
c. Rotationnel:
→ r ∂a ∂ ay r ∂ ax ∂ az r ∂ ay ∂ ax r
* cartésiennes: rot a = z − ex + − ey + − ez
∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
→ r 1 ∂a ∂ aθ r ∂ ar ∂ az r 1 ∂ ( r aθ ) ∂ a r r
* cylindriques: rot a = − er + − eθ + −
z
ez
r ∂ θ ∂ z ∂ z ∂ r r ∂r ∂θ
* sphériques:
→r 1 ∂ (a ϕ sin θ) ∂ a θ r 1 1 ∂ a r ∂ ( r a ϕ ) r 1 ∂ ( r aθ ) ∂ a r r
rot a = − er + − eθ + − eϕ
r sin θ ∂θ ∂ϕ r sin θ ∂ ϕ ∂r r ∂r ∂θ
d. Laplacien:
∂ 2 U ∂ 2 U ∂2 U
* cartésiennes: ∆U = + +
2 2 2
∂x ∂ y ∂z
∂2 U 1 ∂ U 1 ∂2 U ∂2 U
* cylindriques: ∆U = + + 2 +
2 ∂ 2 2
∂r r r r ∂θ ∂ z
∂2 U 2 ∂ U 1 ∂2 U 1 ∂ ∂ U
* sphériques: ∆U = + + + sin θ
∂ r r ∂ r r sin θ ∂ ϕ r sin θ ∂ θ
2 2 2 2 2 ∂ θ
4. Action des opérateurs sur le trièdre de base:
a. coordonnées cylindriques:
→r r →r r
ez → r r
rot er = 0 ; rot eθ = ; rot e z = 0 pour le rotationnel
r
r 1 r r
div er = ; div eθ = 0 ; div ez = 0 pour la divergence
r
b. coordonnées sphériques:
→r r →r r
eϕ → r
r
cosθ r eθ
rot er = 0 ; rot eθ = ; rot eϕ = er − pour le rotationnel
r r sin θ r
r 2 r 1 r
div er = ; div eθ = ; div eϕ = 0 pour la divergence
r r tanθ
r r
Soient U et V deux champs scalaires et a et b deux champs vectoriels.
1. Formules portant sur un seul champ:
r r r2 →
1. ∇.(∇ U) = ∇ U soit div(grad U) = ∆U
r r r → → r
2. ∇ ∧ (∇U) = 0 soit rot (grad U) = 0
r r r r →r r
3. ∇ . ( ∇ ∧ a ) = 0 soit div( rot a ) = 0
r r r r r r r 2r → →r → r r
4. ∇ ∧ (∇ ∧ a ) = ∇( ∇. a ) − ∇ a soit rot (rot a ) = grad(div a ) − ∆ a
2. Formules portant sur deux champs:
r r r → → →
5. ∇ (UV) = V ∇ (U) + U ∇ (V) soit grad(UV) = V grad U + U grad V
r r r r r r r → r r
6. ∇. (U a) = a (∇U) + U ( ∇. a ) soit div(U a ) = grad U. a + U div a
r r r r r r → r → r → r
7. ∇ ∧ (U a ) = ( ∇U) ∧ a + U (∇ ∧ a) soit rot (U a ) = grad U ∧ a + U rot a
r r r r r r r r r r r r →r r →r
8. ∇. ( a ∧ b) = b. ( ∇ ∧ a ) − a. (∇ ∧ b) soit div( a ∧ b) = b. rot a − a . rot b
r r r r r r rr r r r r rr r
9. ∇ ∧ ( a ∧ b) = ( ∇. b) a − ( ∇. a ) b + ( b.∇ ) a − ( a.∇ ) b
→ r r r r r r r → r r → r
soit rot ( a ∧ b) = (div b) a − (div a ) b + ( b. grad ) a − ( a. grad) b
r rr r r r r r r r r r rr r
10. ∇ ( a . b) = a ∧ (∇ ∧ b) + b ∧ (∇ ∧ a ) + ( b.∇ ) a + ( a.∇ ) b
→ rr r →r r →r r → r r → r
soit grad( a . b) = a ∧ (rot b) + b ∧ ( rot a) + ( b. grad ) a + ( a. grad) b
3. Expressions des opérateurs dans divers systèmes de coordonnées:
a. Gradient:
→ ∂ U r ∂ U r ∂ U r
* cartésiennes: grad U = ex + ey + ez
∂x ∂y ∂z
→ ∂ U r 1 ∂ U r ∂ U r
* cylindriques: grad U = er + eθ + ez
∂r r ∂θ ∂z
→ ∂U r 1 ∂ U r 1 ∂ U r
* sphériques: grad U = er + eθ + eϕ
∂r r ∂θ r sin θ ∂ ϕ
b. Divergence:
r ∂a ∂ a ∂ a
* cartésiennes: div a = x + y + z
∂x ∂ y ∂z
r 1 ∂ r ar 1 ∂ aθ ∂ az
* cylindriques: div a = + +
r ∂ r r ∂θ ∂ z
r 1 ∂ r 2 ar 1 ∂ a θ sin θ 1 ∂ aϕ
* sphériques: div a = + +
r 2 ∂ r r sin θ ∂ θ r sin θ ∂ ϕ
c. Rotationnel:
→ r ∂a ∂ ay r ∂ ax ∂ az r ∂ ay ∂ ax r
* cartésiennes: rot a = z − ex + − ey + − ez
∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
→ r 1 ∂a ∂ aθ r ∂ ar ∂ az r 1 ∂ ( r aθ ) ∂ a r r
* cylindriques: rot a = − er + − eθ + −
z
ez
r ∂ θ ∂ z ∂ z ∂ r r ∂r ∂θ
* sphériques:
→r 1 ∂ (a ϕ sin θ) ∂ a θ r 1 1 ∂ a r ∂ ( r a ϕ ) r 1 ∂ ( r aθ ) ∂ a r r
rot a = − er + − eθ + − eϕ
r sin θ ∂θ ∂ϕ r sin θ ∂ ϕ ∂r r ∂r ∂θ
d. Laplacien:
∂ 2 U ∂ 2 U ∂2 U
* cartésiennes: ∆U = + +
2 2 2
∂x ∂ y ∂z
∂2 U 1 ∂ U 1 ∂2 U ∂2 U
* cylindriques: ∆U = + + 2 +
2 ∂ 2 2
∂r r r r ∂θ ∂ z
∂2 U 2 ∂ U 1 ∂2 U 1 ∂ ∂ U
* sphériques: ∆U = + + + sin θ
∂ r r ∂ r r sin θ ∂ ϕ r sin θ ∂ θ
2 2 2 2 2 ∂ θ
4. Action des opérateurs sur le trièdre de base:
a. coordonnées cylindriques:
→r r →r r
ez → r r
rot er = 0 ; rot eθ = ; rot e z = 0 pour le rotationnel
r
r 1 r r
div er = ; div eθ = 0 ; div ez = 0 pour la divergence
r
b. coordonnées sphériques:
→r r →r r
eϕ → r
r
cosθ r eθ
rot er = 0 ; rot eθ = ; rot eϕ = er − pour le rotationnel
r r sin θ r
r 2 r 1 r
div er = ; div eθ = ; div eϕ = 0 pour la divergence
r r tanθ