Congruences dans Z
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Catégories :Categories: Cours et Formulaires TI-82+/83+/84, Cours et Formulaires TI-76/82Stats/83, Cours et Formulaires TI-82
Auteur Author: Konichu
Type : Texte nécessitant un lecteur
Page(s) : 1
Taille Size: 1.61 Ko KB
Mis en ligne Uploaded: 17/11/2013 - 16:10:14
Uploadeur Uploader: Konichu (Profil)
Téléchargements Downloads: 171
Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a22918
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Description
Fichier TxtView généré sur TI-Planet.org.
Compatible TI-73/76/82/83/84.
Nécessite l'intallation d'un kernel/shell compatible et du programme TxtView approprié.
<<
Propriété : a congru b[n] si et seulement si a-b est un multiple de n. Autrement dit a congru b[n] si est seulement si il existe k appartenant a Z tel que a = b+kn
Démonstration :
*Si a congru b[n] alors il existe trois nombres entiers relatifs q q' et r tels que a = nq+r , b=nq'+r et 0<=r<n. Alors a-b=n(q-q') Donc a-b est un multiple de n
*Réciproquement si a-b est un multiple den, alors il existe k E Z tel que a-b=kn c-a-d a=b+kn. Or il existe deux nombres entiers relatifs q' et r' tels que b=nq'+r' et 0<=r'<n, donc a=n(k+q')+r'. Ainsi r' est le reste de la division euclidienne de a par n . Donc a et b ont le même reste r' dans la division euclidienne par n.
Propriété :
Si a congru b[n] et a' congru b'[n] alors
a+a' congru b+b'[n]
a-a' congru b-b'[n]
aa' congru bb'[n]
Preuve :
Si a congru b[n] alors a-b = k*n
Si a' congru b'[n] alors a'-b'=k'*n
On ajoute membre a membre
a+a'-b-b' = k*n+k'*n
= (a+a')-(b+b')= (k+k')n
donc a+a' congru b+b'[n]
Pour le produit :
aa'+ab'-ab'-bb' = a(a'-b')+b'(a-b)
aa'-bb'= a*k'a+b'*k*n
= n(ak+bk')
Donc aa'-bb' multiple de n
d'ou aa' congru bb'[n]
Conséquences :
Si a congru b[n] alors k*a congru kb[n]
Si a congru b[n] alors a^p congru b^p[n]
Preuve :
Initialisation : faire avec p = 0
Hérédité : On suppose la propriété vraie a un certain rang k : a^k congru b^k[n]
a^k congru b^k[n]
a congru b [n]
---------------------
a*a^k congru b*b^k[n] car compatible avec multiplication
a^k+1 congru b^k+1[n]
Conclusion : prop vraie au rang k+1 donc vrai pour tout entier p
>>
Compatible TI-73/76/82/83/84.
Nécessite l'intallation d'un kernel/shell compatible et du programme TxtView approprié.
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Propriété : a congru b[n] si et seulement si a-b est un multiple de n. Autrement dit a congru b[n] si est seulement si il existe k appartenant a Z tel que a = b+kn
Démonstration :
*Si a congru b[n] alors il existe trois nombres entiers relatifs q q' et r tels que a = nq+r , b=nq'+r et 0<=r<n. Alors a-b=n(q-q') Donc a-b est un multiple de n
*Réciproquement si a-b est un multiple den, alors il existe k E Z tel que a-b=kn c-a-d a=b+kn. Or il existe deux nombres entiers relatifs q' et r' tels que b=nq'+r' et 0<=r'<n, donc a=n(k+q')+r'. Ainsi r' est le reste de la division euclidienne de a par n . Donc a et b ont le même reste r' dans la division euclidienne par n.
Propriété :
Si a congru b[n] et a' congru b'[n] alors
a+a' congru b+b'[n]
a-a' congru b-b'[n]
aa' congru bb'[n]
Preuve :
Si a congru b[n] alors a-b = k*n
Si a' congru b'[n] alors a'-b'=k'*n
On ajoute membre a membre
a+a'-b-b' = k*n+k'*n
= (a+a')-(b+b')= (k+k')n
donc a+a' congru b+b'[n]
Pour le produit :
aa'+ab'-ab'-bb' = a(a'-b')+b'(a-b)
aa'-bb'= a*k'a+b'*k*n
= n(ak+bk')
Donc aa'-bb' multiple de n
d'ou aa' congru bb'[n]
Conséquences :
Si a congru b[n] alors k*a congru kb[n]
Si a congru b[n] alors a^p congru b^p[n]
Preuve :
Initialisation : faire avec p = 0
Hérédité : On suppose la propriété vraie a un certain rang k : a^k congru b^k[n]
a^k congru b^k[n]
a congru b [n]
---------------------
a*a^k congru b*b^k[n] car compatible avec multiplication
a^k+1 congru b^k+1[n]
Conclusion : prop vraie au rang k+1 donc vrai pour tout entier p
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