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Catégorie :Category: nCreator TI-Nspire
Auteur Author: dougydu69
Type : Classeur 3.0.1
Page(s) : 1
Taille Size: 5.82 Ko KB
Mis en ligne Uploaded: 05/11/2024 - 17:13:41
Mis à jour Updated: 05/11/2024 - 18:23:36
Uploadeur Uploader: dougydu69 (Profil)
Téléchargements Downloads: 2
Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a4296438
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Description
Fichier Nspire généré sur TI-Planet.org.
Compatible OS 3.0 et ultérieurs.
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Fiche de Révision : Formules Essentielles 1. Signaux Discrets et Transformations Échantillonnage dun Signal Continu : Signal discret obtenu à partir dun signal continu x ( t ) x(t) x ( t ) : x [ n ] = x ( n Å T e ) x[n] = x(n cdot T_e) x [ n ] = x ( n Å T e ) où T e T_e T e est lintervalle déchantillonnage, et f e = 1 T e f_e = frac{1}{T_e} f e = T e 1 est la fréquence déchantillonnage. Transformations de Signaux Discrets : Décalage : x [ n n 0 ] x[n - n_0] x [ n n 0 ] Échelle (compression ou dilatation) : x [ a n ] x[an] x [ an ] Retour (inversion dans le temps) : x [ n ] x[-n] x [ n ] 2. Calcul de l'Énergie et de la Puissance Moyenne dun Signal Énergie dun Signal Discret : W = n = + # x [ n ] # 2 W = sum_{n=-infty}^{+infty} |x[n]|^2 W = n = + # x [ n ] # 2 Puissance Moyenne dun Signal Discret : P = lim a N + 1 2 N + 1 n = N N # x [ n ] # 2 P = lim_{N to +infty} frac{1}{2N + 1} sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2 P = N + lim 2 N + 1 1 n = N N # x [ n ] # 2 3. Produit Scalaire et Norme Produit Scalaire entre deux signaux x ( t ) x(t) x ( t ) et y ( t ) y(t) y ( t ) : En continu : è x , y é = + + x ( t ) Å y ( t ) d t langle x, y rangle = int_{-infty}^{+infty} x(t) cdot y(t) , dt è x , y é = + + x ( t ) Å y ( t ) d t En discret : è x , y é = n = + x [ n ] Å y [ n ] langle x, y rangle = sum_{n=-infty}^{+infty} x[n] cdot y[n] è x , y é = n = + x [ n ] Å y [ n ] Norme dun Signal : En continu : # # x # # = + + # x ( t ) # 2 d t ||x|| = sqrt{int_{-infty}^{+infty} |x(t)|^2 , dt} ## x ## = + + # x ( t ) # 2 d t En discret : # # x # # = n = + # x [ n ] # 2 ||x|| = sqrt{sum_{n=-infty}^{+infty} |x[n]|^2} ## x ## = n = + # x [ n ] # 2 Produit Scalaire Normalisé (entre deux spectres X ( f ) X(f) X ( f ) et Y ( f ) Y(f) Y ( f ) ) : Produit scalaire normalis e Ê = è X , Y é # # X # # Å # # Y # # text{Produit scalaire normalisé} = frac{langle X, Y rangle}{||X|| cdot ||Y||} Produit scalaire normalis e Ê = ## X ## Å ## Y ## è X , Y é 4. Transformée de Fourier Transformée de Fourier (TF) dun signal continu x ( t ) x(t) x ( t ) : X ( f ) = + + x ( t ) e j 2 À f t d t X(f) = int_{-infty}^{+infty} x(t) e^{-j 2 pi f t} , dt X ( f ) = + + x ( t ) e j 2 À f t d t Transformée de Fourier Inverse : x ( t ) = + + X ( f ) e j 2 À f t d f x(t) = int_{-infty}^{+infty} X(f) e^{j 2 pi f t} , df x ( t ) = + + X ( f ) e j 2 À f t df Transformée de Fourier dun Signal Échantillonné :Pour un signal échantillonné x s ( t ) = x ( t ) Å p ( t ) x_s(t) = x(t) cdot p(t) x s ( t ) = x ( t ) Å p ( t ) où p ( t ) p(t) p ( t ) est un peigne de Dirac : X s ( f ) = X ( f ) k = + ´ ( f k f e ) X_s(f) = X(f) * sum_{k=-infty}^{+infty} delta(f - kf_e) X s ( f ) = X ( f ) k = + ´ ( f k f e ) Module et Phase de la TF : X ( f ) = # X ( f ) # e j arg a ( X ( f ) ) X(f) = |X(f)| e^{j arg(X(f))} X ( f ) = # X ( f ) # e j a r g ( X ( f )) 5. Propriétés de la Transformée de Fourier Linéarité : a x 1 ( t ) + b x 2 ( t ) TF a X 1 ( f ) + b X 2 ( f ) a x_1(t) + b x_2(t) xleftrightarrow{text{TF}} a X_1(f) + b X_2(f) a x 1 ( t ) + b x 2 ( t ) TF a X 1 ( f ) + b X 2 ( f ) Décalage dans le Temps : x ( t t 0 ) TF X ( f ) e j 2 À f t 0 x(t - t_0) xleftrightarrow{text{TF}} X(f) e^{-j 2 pi f t_0} x ( t t 0 ) TF X ( f ) e j 2 À f t 0 Dérivation : d x ( t ) d t TF j 2 À f X ( f ) frac{dx(t)}{dt} xleftrightarrow{text{TF}} j 2 pi f X(f) d t d x ( t ) TF j 2 À f X ( f ) Convolution : Convolution dans le temps correspond à la multiplication dans le domaine fréquentiel : x ( t ) y ( t ) TF X ( f ) Y ( f ) x(t) * y(t) xleftrightarrow{text{TF}} X(f) Y(f) x ( t ) y ( t ) TF X ( f ) Y ( f ) Égalité de Parseval (Conservation de lénergie) : + + # x ( t ) # 2 d t = + + # X ( f ) # 2 d f int_{-infty}^{+infty} |x(t)|^2 , dt = int_{-infty}^{+infty} |X(f)|^2 , df + + # x ( t ) # 2 d t = + + # X ( f ) # 2 df 6. Transformée de Fourier de Fonctions Usuelles Impulsion de Dirac ´ ( t ) delta(t) ´ ( t ) : ´ ( t ) TF 1 delta(t) xleftrightarrow{text{TF}} 1 ´ ( t ) TF 1 Fonction Unitaire u ( t ) u(t) u ( t ) : u ( t ) TF 1 j 2 À f + À ´ ( f ) u(t) xleftrightarrow{text{TF}} frac{1}{j 2 pi f} + pi delta(f) u ( t ) TF j 2 À f 1 + À ´ ( f ) Fonction sinc sinc ( t ) = sin a ( À t ) À t text{sinc}(t) = frac{sin(pi t)}{pi t} sinc ( t ) = À t s i n ( À t ) : sinc ( t ) TF rect ( f ) text{sinc}(t) xleftrightarrow{text{TF}} text{rect}(f) sinc ( t ) TF rect ( f ) Fonction exponentielle complexe e j 2 À f 0 t e^{j 2 pi f_0 t} e j 2 À f 0 t : e j 2 À f 0 t TF ´ ( f f 0 ) e^{j 2 pi f_0 t} xleftrightarrow{text{TF}} delta(f - f_0) e j 2 À f 0 t TF ´ ( f f 0 ) Fonction Rectan
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Compatible OS 3.0 et ultérieurs.
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Fiche de Révision : Formules Essentielles 1. Signaux Discrets et Transformations Échantillonnage dun Signal Continu : Signal discret obtenu à partir dun signal continu x ( t ) x(t) x ( t ) : x [ n ] = x ( n Å T e ) x[n] = x(n cdot T_e) x [ n ] = x ( n Å T e ) où T e T_e T e est lintervalle déchantillonnage, et f e = 1 T e f_e = frac{1}{T_e} f e = T e 1 est la fréquence déchantillonnage. Transformations de Signaux Discrets : Décalage : x [ n n 0 ] x[n - n_0] x [ n n 0 ] Échelle (compression ou dilatation) : x [ a n ] x[an] x [ an ] Retour (inversion dans le temps) : x [ n ] x[-n] x [ n ] 2. Calcul de l'Énergie et de la Puissance Moyenne dun Signal Énergie dun Signal Discret : W = n = + # x [ n ] # 2 W = sum_{n=-infty}^{+infty} |x[n]|^2 W = n = + # x [ n ] # 2 Puissance Moyenne dun Signal Discret : P = lim a N + 1 2 N + 1 n = N N # x [ n ] # 2 P = lim_{N to +infty} frac{1}{2N + 1} sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2 P = N + lim 2 N + 1 1 n = N N # x [ n ] # 2 3. Produit Scalaire et Norme Produit Scalaire entre deux signaux x ( t ) x(t) x ( t ) et y ( t ) y(t) y ( t ) : En continu : è x , y é = + + x ( t ) Å y ( t ) d t langle x, y rangle = int_{-infty}^{+infty} x(t) cdot y(t) , dt è x , y é = + + x ( t ) Å y ( t ) d t En discret : è x , y é = n = + x [ n ] Å y [ n ] langle x, y rangle = sum_{n=-infty}^{+infty} x[n] cdot y[n] è x , y é = n = + x [ n ] Å y [ n ] Norme dun Signal : En continu : # # x # # = + + # x ( t ) # 2 d t ||x|| = sqrt{int_{-infty}^{+infty} |x(t)|^2 , dt} ## x ## = + + # x ( t ) # 2 d t En discret : # # x # # = n = + # x [ n ] # 2 ||x|| = sqrt{sum_{n=-infty}^{+infty} |x[n]|^2} ## x ## = n = + # x [ n ] # 2 Produit Scalaire Normalisé (entre deux spectres X ( f ) X(f) X ( f ) et Y ( f ) Y(f) Y ( f ) ) : Produit scalaire normalis e Ê = è X , Y é # # X # # Å # # Y # # text{Produit scalaire normalisé} = frac{langle X, Y rangle}{||X|| cdot ||Y||} Produit scalaire normalis e Ê = ## X ## Å ## Y ## è X , Y é 4. Transformée de Fourier Transformée de Fourier (TF) dun signal continu x ( t ) x(t) x ( t ) : X ( f ) = + + x ( t ) e j 2 À f t d t X(f) = int_{-infty}^{+infty} x(t) e^{-j 2 pi f t} , dt X ( f ) = + + x ( t ) e j 2 À f t d t Transformée de Fourier Inverse : x ( t ) = + + X ( f ) e j 2 À f t d f x(t) = int_{-infty}^{+infty} X(f) e^{j 2 pi f t} , df x ( t ) = + + X ( f ) e j 2 À f t df Transformée de Fourier dun Signal Échantillonné :Pour un signal échantillonné x s ( t ) = x ( t ) Å p ( t ) x_s(t) = x(t) cdot p(t) x s ( t ) = x ( t ) Å p ( t ) où p ( t ) p(t) p ( t ) est un peigne de Dirac : X s ( f ) = X ( f ) k = + ´ ( f k f e ) X_s(f) = X(f) * sum_{k=-infty}^{+infty} delta(f - kf_e) X s ( f ) = X ( f ) k = + ´ ( f k f e ) Module et Phase de la TF : X ( f ) = # X ( f ) # e j arg a ( X ( f ) ) X(f) = |X(f)| e^{j arg(X(f))} X ( f ) = # X ( f ) # e j a r g ( X ( f )) 5. Propriétés de la Transformée de Fourier Linéarité : a x 1 ( t ) + b x 2 ( t ) TF a X 1 ( f ) + b X 2 ( f ) a x_1(t) + b x_2(t) xleftrightarrow{text{TF}} a X_1(f) + b X_2(f) a x 1 ( t ) + b x 2 ( t ) TF a X 1 ( f ) + b X 2 ( f ) Décalage dans le Temps : x ( t t 0 ) TF X ( f ) e j 2 À f t 0 x(t - t_0) xleftrightarrow{text{TF}} X(f) e^{-j 2 pi f t_0} x ( t t 0 ) TF X ( f ) e j 2 À f t 0 Dérivation : d x ( t ) d t TF j 2 À f X ( f ) frac{dx(t)}{dt} xleftrightarrow{text{TF}} j 2 pi f X(f) d t d x ( t ) TF j 2 À f X ( f ) Convolution : Convolution dans le temps correspond à la multiplication dans le domaine fréquentiel : x ( t ) y ( t ) TF X ( f ) Y ( f ) x(t) * y(t) xleftrightarrow{text{TF}} X(f) Y(f) x ( t ) y ( t ) TF X ( f ) Y ( f ) Égalité de Parseval (Conservation de lénergie) : + + # x ( t ) # 2 d t = + + # X ( f ) # 2 d f int_{-infty}^{+infty} |x(t)|^2 , dt = int_{-infty}^{+infty} |X(f)|^2 , df + + # x ( t ) # 2 d t = + + # X ( f ) # 2 df 6. Transformée de Fourier de Fonctions Usuelles Impulsion de Dirac ´ ( t ) delta(t) ´ ( t ) : ´ ( t ) TF 1 delta(t) xleftrightarrow{text{TF}} 1 ´ ( t ) TF 1 Fonction Unitaire u ( t ) u(t) u ( t ) : u ( t ) TF 1 j 2 À f + À ´ ( f ) u(t) xleftrightarrow{text{TF}} frac{1}{j 2 pi f} + pi delta(f) u ( t ) TF j 2 À f 1 + À ´ ( f ) Fonction sinc sinc ( t ) = sin a ( À t ) À t text{sinc}(t) = frac{sin(pi t)}{pi t} sinc ( t ) = À t s i n ( À t ) : sinc ( t ) TF rect ( f ) text{sinc}(t) xleftrightarrow{text{TF}} text{rect}(f) sinc ( t ) TF rect ( f ) Fonction exponentielle complexe e j 2 À f 0 t e^{j 2 pi f_0 t} e j 2 À f 0 t : e j 2 À f 0 t TF ´ ( f f 0 ) e^{j 2 pi f_0 t} xleftrightarrow{text{TF}} delta(f - f_0) e j 2 À f 0 t TF ´ ( f f 0 ) Fonction Rectan
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