DS 3 de maths
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Mis en ligne Uploaded: 02/03/2025 - 22:14:51
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Shortlink : http://ti-pla.net/a4522329
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Description
Fichier Nspire généré sur TI-Planet.org.
Compatible OS 3.0 et ultérieurs.
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géométrie dans l'espace : coplanaire AD=±AB+²AC AB.AC= AB x AC x cos(BAC) dans le RON : AB.AC = xx'+yy'+zz' 1/2 x u²+v²-(u-v)² 1/2 x (u+v)²-u²-v² distance : (x²+y²+z²) (xb-xa)²+(yb-ya)²+(zb-za)² définition : Une droite d de vecteur directeur u est orthogonale à un plan ssi u est orthogonal à tous les vecteurs dela direction de P propriété : Une droite d de vecteur u est orthogonale à un plan P ssi u est orthognal à deux vecteurs non colinéaires ( définissant et dirigeant l'espace ) de la direction de P. Soit une droite d et un plan P. Les trois ppropositions ci-dessous sont équivalentes : La droite d est orthogonales au plan P. La droite d est orthogonale à toute droite incluse dans le plan P La droite d est orthogonale à deux droites sécantes du plan P. (DE) perpendiculaire à (ABC) ssi (DE) perpendiculaire à (AB) et ssi (DE) perpendiculaire à (AC). 1) Démontrer que le point H (3;7;-8) appartient à P passant par A : faire vecteur AH puis faire AH scalaire vecteur normal du plan (n) 2) Démontrer que H est le PO de B sur P : faire HB et faire HB scalire n 3) a. Justifier que C est le PO de H sur la droite BC faire CH scalaire BC b. Calculer la distance du point H à la droite (BC) . avec la formule de la distance distance de HB avec la formule de x²+y²+z² 1)Déterminer une équation cartésienne du plan P poser un point M faire vecteur AM (x-2;y-3;z-4) et dire que si AM est orthogonale à n alors AM scalaire n = 0 ensuite résoudre l'équation 2) B(4;1;9) déterminer une équation du plan médiateur P' du segment [AB] (xA+xB)/2 (ya+yb)/2 (za + zb)/2 (4-2)/2 (1+7)/2 (3+9)/2 I(1;4;6) calculer le vecteur AB(6;-6;6) équation cartésienne du plan médiateur P' du segment [AB] 6x-6y+6z+d=0 6 x 1-6 x 4+6 x 6 +d=0 6-24+36+d=0 -18+36+d=0 18+d=0 d=-18 6x-6y+6z-18=0 2) Démontrer que n(1;-2;7) est un vecteur normal au plan (ABC) : n scalaire AB et n scalaire AC. 3) En déduire une équation du plan (ABC). Prendre le vecteur n et le pointA. X-2Y+7Z-10=0 4) Les points D(5;-20;-5) et E (3;4;1) appartiennet-ils au plan (ABC) ? Dans le RON : 1 x 5 -2 x (-20) +7 x (-5) -10 5+40-35-10 45-45 0 donc le point D(ABC). E(3;4;1) 3 x 1 - 2 x 4 + 7 x 1 -10 3-8+7-10 10-18 -8 Donc E (ABC) Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points A (-5;-5;2) B (-1;1;0) C(0;1;2) D(6;6-1) faire la distance BC, BD et CD avec la formule de distance. BC= 75 CD = 5 BD =70 donc après TH. de Pyhagore trouverun produit scalaire =0 pour avoir la base et la hauteur BC.CD = 0 donc aire = BD x CD /2 FAIRE LE CALCUL Récurrence : Initialisation : définir ce qu on initialise 0+1=1 et Uo=1 donc 0+1=Uo Hérédité : 1ère étape : La proposition est donc vraie au rang 0 ou donc P(0) est vraie. 2ème étape : Supposons la proposition vraie pour un entier naturel k fixé c'est-à-dire que pour cette entier Uk=k+1 Montrons qu'alors la proposition est vraie au rang k+1 c'est à dire que Uk+1=k+2 D'après l'hypothèse de récurrence :La propriété étant supposer vraie au rang k+1. La proposition est vrai au rang 0 et est héréditaire à partir de ce rang doonc d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n. Pour tout n entier naturl n, Un=n+1. déterminer la plus petie valeur P tel que 1-Up<E Python : def seuil(E) u=0.5 n=0 while 1-u>=E : u= (4*u)/(1+3*u) n=n+1 return n limites de fonctions : x² = IxI asymptote : horizontale à la courbe Cf en + e la forme y=2. verticale à la courbe Cf en de la forme x=2 croissace comparée : lim x^n*e^x =0 quand x tends vers - lim ln x/ x quand x tends + =0 théorème de comparaison : - ou + théorème des gendarmes : réél k fixé=3 forme indéterminé : quotient de fonctions par exemple théorème du pt fixe : exemple avec Un+1= Un+4 La suite U converge et est défini par récurrence avec Uo=-1 et pour tout entier naturel Un+1=f(Un). La fonction f est continue sur [-4;+ [. Alors d'après le théorème du point fixe la suite (Un) converge vers un réél L solutionde l'équation f(x)=x Or, pour tout x
[-4;+ [, f(x)= x Ò x+4 = x Òx+4=x² Òx²-x-4=0 rédac polynome du second degré =(-1)²-4*(-4)=17 >0 donc deux solutios distinctes X1= (1- 17)/2 et X2=(1+ 17)/2 ainsi, x1=-1.56 et x2= 2.56 or, Uo =-1 et la suite (Un) est croissante, (on le suppose démontré) donc la suite ne peut pas converger vers (1- 17)/2 donc L=(1+ 17)/2. corrolaire du TVI f est dérivable donc continue sur l'intervalle I considérée f est strictement monotone sur I 0 est compris entre limite de f(x) quand x tends vers + = + et f(3) =5 donc d'après du corrollaire du TVI une seule solutiion. Made with nCreator - tiplanet.org
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géométrie dans l'espace : coplanaire AD=±AB+²AC AB.AC= AB x AC x cos(BAC) dans le RON : AB.AC = xx'+yy'+zz' 1/2 x u²+v²-(u-v)² 1/2 x (u+v)²-u²-v² distance : (x²+y²+z²) (xb-xa)²+(yb-ya)²+(zb-za)² définition : Une droite d de vecteur directeur u est orthogonale à un plan ssi u est orthogonal à tous les vecteurs dela direction de P propriété : Une droite d de vecteur u est orthogonale à un plan P ssi u est orthognal à deux vecteurs non colinéaires ( définissant et dirigeant l'espace ) de la direction de P. Soit une droite d et un plan P. Les trois ppropositions ci-dessous sont équivalentes : La droite d est orthogonales au plan P. La droite d est orthogonale à toute droite incluse dans le plan P La droite d est orthogonale à deux droites sécantes du plan P. (DE) perpendiculaire à (ABC) ssi (DE) perpendiculaire à (AB) et ssi (DE) perpendiculaire à (AC). 1) Démontrer que le point H (3;7;-8) appartient à P passant par A : faire vecteur AH puis faire AH scalaire vecteur normal du plan (n) 2) Démontrer que H est le PO de B sur P : faire HB et faire HB scalire n 3) a. Justifier que C est le PO de H sur la droite BC faire CH scalaire BC b. Calculer la distance du point H à la droite (BC) . avec la formule de la distance distance de HB avec la formule de x²+y²+z² 1)Déterminer une équation cartésienne du plan P poser un point M faire vecteur AM (x-2;y-3;z-4) et dire que si AM est orthogonale à n alors AM scalaire n = 0 ensuite résoudre l'équation 2) B(4;1;9) déterminer une équation du plan médiateur P' du segment [AB] (xA+xB)/2 (ya+yb)/2 (za + zb)/2 (4-2)/2 (1+7)/2 (3+9)/2 I(1;4;6) calculer le vecteur AB(6;-6;6) équation cartésienne du plan médiateur P' du segment [AB] 6x-6y+6z+d=0 6 x 1-6 x 4+6 x 6 +d=0 6-24+36+d=0 -18+36+d=0 18+d=0 d=-18 6x-6y+6z-18=0 2) Démontrer que n(1;-2;7) est un vecteur normal au plan (ABC) : n scalaire AB et n scalaire AC. 3) En déduire une équation du plan (ABC). Prendre le vecteur n et le pointA. X-2Y+7Z-10=0 4) Les points D(5;-20;-5) et E (3;4;1) appartiennet-ils au plan (ABC) ? Dans le RON : 1 x 5 -2 x (-20) +7 x (-5) -10 5+40-35-10 45-45 0 donc le point D(ABC). E(3;4;1) 3 x 1 - 2 x 4 + 7 x 1 -10 3-8+7-10 10-18 -8 Donc E (ABC) Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points A (-5;-5;2) B (-1;1;0) C(0;1;2) D(6;6-1) faire la distance BC, BD et CD avec la formule de distance. BC= 75 CD = 5 BD =70 donc après TH. de Pyhagore trouverun produit scalaire =0 pour avoir la base et la hauteur BC.CD = 0 donc aire = BD x CD /2 FAIRE LE CALCUL Récurrence : Initialisation : définir ce qu on initialise 0+1=1 et Uo=1 donc 0+1=Uo Hérédité : 1ère étape : La proposition est donc vraie au rang 0 ou donc P(0) est vraie. 2ème étape : Supposons la proposition vraie pour un entier naturel k fixé c'est-à-dire que pour cette entier Uk=k+1 Montrons qu'alors la proposition est vraie au rang k+1 c'est à dire que Uk+1=k+2 D'après l'hypothèse de récurrence :La propriété étant supposer vraie au rang k+1. La proposition est vrai au rang 0 et est héréditaire à partir de ce rang doonc d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n. Pour tout n entier naturl n, Un=n+1. déterminer la plus petie valeur P tel que 1-Up<E Python : def seuil(E) u=0.5 n=0 while 1-u>=E : u= (4*u)/(1+3*u) n=n+1 return n limites de fonctions : x² = IxI asymptote : horizontale à la courbe Cf en + e la forme y=2. verticale à la courbe Cf en de la forme x=2 croissace comparée : lim x^n*e^x =0 quand x tends vers - lim ln x/ x quand x tends + =0 théorème de comparaison : - ou + théorème des gendarmes : réél k fixé=3 forme indéterminé : quotient de fonctions par exemple théorème du pt fixe : exemple avec Un+1= Un+4 La suite U converge et est défini par récurrence avec Uo=-1 et pour tout entier naturel Un+1=f(Un). La fonction f est continue sur [-4;+ [. Alors d'après le théorème du point fixe la suite (Un) converge vers un réél L solutionde l'équation f(x)=x Or, pour tout x
[-4;+ [, f(x)= x Ò x+4 = x Òx+4=x² Òx²-x-4=0 rédac polynome du second degré =(-1)²-4*(-4)=17 >0 donc deux solutios distinctes X1= (1- 17)/2 et X2=(1+ 17)/2 ainsi, x1=-1.56 et x2= 2.56 or, Uo =-1 et la suite (Un) est croissante, (on le suppose démontré) donc la suite ne peut pas converger vers (1- 17)/2 donc L=(1+ 17)/2. corrolaire du TVI f est dérivable donc continue sur l'intervalle I considérée f est strictement monotone sur I 0 est compris entre limite de f(x) quand x tends vers + = + et f(3) =5 donc d'après du corrollaire du TVI une seule solutiion. Made with nCreator - tiplanet.org
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