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Description
Fichier Nspire généré sur TI-Planet.org.
Compatible OS 3.0 et ultérieurs.
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------------------------------------------------------------ 2. ESTIMATION DE LA VITESSE DÉJECTION (COMPLÈTE) Hypothèses : - On néglige les frottements de l'air. - La balle est lâchée à une hauteur de h = 2·L = 0,36 m - Distance cible : 2 m - On étudie le mouvement après linstant de lâcher (t = t) ------------------------------------------------------------ 2.1 GRANDEURS À t = t (instant de léjection) À linstant t = t : - Position : x(t) = 0 z(t) = 0,36 m - Vitesse : vx(t) = V·cos(45°)= V / 2 vz(t) = V·sin(45°)= V / 2 - Accélération : ax(t) = 0 az(t) = -g = -9,81m/s² ------------------------------------------------------------ 2.2 ACTIONS MÉCANIQUES SUR LA BALLE (après éjection) Une fois la balle éjectée, seule laction du poids sexerce: - Poids (force de gravité) : **P** = m·g·(z) =0,08·9,81·z H 0,785·z N ------------------------------------------------------------ 2.3 PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE (PFD) PFD appliqué à la balle (isolée dans le champ de pesanteur): **m·a(t) = £F_ext = P** Projection selon x : - m·ax = 0 ax(t) = 0 Projection selon z : - m·az = m·g az(t) = g ------------------------------------------------------------ 2.4 ÉQUATIONS DE LÉVOLUTION TEMPORELLE Accélérations : - ax(t) = 0 - az(t) = g Intégration (vitesse) : - vx(t) = vx(t) = V / 2 - vz(t) = vz(t) g·(t t) = V/2 g·(t t) Intégration (position) : - x(t) = x(t) + vx(t)·(t t) = V/2·(t t) - z(t) = z(t) + vz(t)·(t t) ½·g·(t t)² On prend t = 0 pour simplifier. Donc : - x(t) = V/2·t - z(t) = 0,36 + V/2·t ½·g·t² ------------------------------------------------------------ 2.5 TEMPS DE VOL (retour au sol) La balle touche le sol lorsque z(t) = 0 : 0 = 0,36 + V/2·t ½·g·t² Équation du 2nd degré : 4,905·t² + (V/2)·t + 0,36 = 0 Résolution pour V = 8 m/s : V/2 H 5,66 4,905·t² + 5,66·t + 0,36 = 0 On résout : = 5,66² 4·(4,905)·0,36 H 32,0 + 7,06 H 39,06 t = [5,66 ± 39,06] / (2·4,905) t H 0,141 s (valeur physique) ------------------------------------------------------------ 2.6 PORTÉE MAXIMALE x(t) = V / 2 · t x = 5,66 · 0,141 H 0,8 m trop court Si on veut atteindre 2 m, il faut résoudre à lenvers : x = V / 2 · t z = 0,36 + V/2·t 4,905·t² = 0 On trouve t = (2·0,36 / 9,81) H 0,271 s V = x / t · 2 = 2 / 0,271 · 1,414 H 10,43 m/s ------------------------------------------------------------ 2.7 CONCLUSION La vitesse déjection nécessaire pour toucher une cible à2 m en partant dune hauteur de 0,36 m est **V H 10,43 m/s** La valeur utilisée par léquipe de Cachan (8 m/s) est doncune estimation simplifiée, probablement avec pertes/frottements ou ajustementempirique. ============================================================ 3. ESTIMATION DE LA VITESSE DÉJECTION Objectif : Déterminer la vitesse minimale Ve que la balle doit avoir àlinstant de léjection pour atteindre une cible placée à 2 m, en partant dunehauteur de 2·L. Hypothèses : - Frottements de lair négligés - h = 2·L = 2·0,18 = 0,36 m - Distance horizontale cible : 2,00 m ------------------------------------------------------------ 3.1 GRANDEURS À LINSTANT t = t (éjection) À t = 0 (instant de léjection), on note : - Position initiale : - x(0) = 0 m - z(0) = 0,36 m - Vitesse initiale : - vx(0) = Ve·cos(¸)= Ve / 2 - vz(0) = Ve·sin(¸)= Ve / 2 (angle supposé à 45°pour portée maximale) - Accélérations : - ax(t) = 0 - az(t) = g = 9,81m/s² ------------------------------------------------------------ 3.2 ACTIONS MÉCANIQUES SUR LA BALLE La seule force qui sexerce après le lâcher est le **poids**de la balle : **P** = m·g·(z) = 0,08·9,81·z H **0,785 z N** ------------------------------------------------------------ 3.3 APPLICATION DU PFD Principe fondamental de la dynamique : m·a(t) = £F_ext En projection selon les deux axes : - x : m·ax = 0 ax(t) = 0 - z : m·az = m·g az(t) = g ------------------------------------------------------------ 3.4 RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Intégration des accélérations : - ax = 0 vx(t) = vx = Ve / 2 x(t) = (Ve / 2)·t - az = g vz(t) = vz g·t = (Ve / 2) g·t z(t) = z + (Ve /2)·t ½·g·t² ------------------------------------------------------------ 3.5 TEMPS DE VOL La balle touche le sol quand z(t) = 0 : 0 = 0,36 + (Ve / 2)·t 4,905·t² => Équation du second degré en t : 4,905·t² + (Ve / 2)·t + 0,36 = 0 On isole t en fonction de Ve : Discriminant : = [(Ve / 2)]² + 4·4,905·0,36 Mais on peut résoudre à l'envers : On sait que la chute libre depuis z = 0,36 m dure : t = (2·0,36 / 9,81) H **0,271 s** ------------------------------------------------------------ 3.6 VITESSE DÉJECTION REQUISE x(t) = (Ve / 2)·t = 2 m => Ve = (2 / t)·2 = (2 / 0,271)·1,414 H **10,43
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