Equation differentielle
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Catégorie :Category: nCreator TI-Nspire
Auteur Author: cllʔʔment dedrape
Type : Classeur 3.0.1
Page(s) : 1
Taille Size: 2.89 Ko KB
Mis en ligne Uploaded: 14/05/2012 - 21:55:55
Uploadeur Uploader: Cllément Dedrape (Profil)
Téléchargements Downloads: 1347
Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a4816
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Description
Fichier Nspire généré sur TI-Planet.org.
Compatible OS 3.0 et ultérieurs.
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À coefficients constants Elles sont de la forme où a , b et c sont des réels, a non nul. On les rencontre, entre autres, dans la modélisation de mouvement avec force de rappel (type ressort ), avec ou sans amortissement (voir Exemples d'équations différentielles ) ou encore dans les circuits électriques comportant une inductance et un condensateur . On cherche des solutions sous forme exponentielle, c'est-à-dire telles que . Une telle fonction sera solution de l'équation différentielle si et seulement si » est solution de Cette équation est appelée équation caractéristique de l'équation différentielle. Comme pour toute équation du second degré , trois cas se présentent selon le signe du discriminant ”. Si ” > 0 L'équation possède deux solutions et . L'équation possède au moins deux fonctions exponentielles solutions et . On démontre que ces deux solutions engendrent l'ensemble des solutions. C'est-à-dire que l'ensemble des solutions sont les fonctions définies sur par où et sont deux réels quelconques. Pour déterminer ces deux constantes, il est naturel de donner deux informations sur la fonction cela se fait en général en donnant des conditions initiales en un point , c'est-à-dire en précisant les valeurs et de y et y' à cet instant. Dans ce cas l'existence et l'unicité de la solution vérifiant ces conditions initiales sont garanties. pour de nombreux problèmes physiques, il est fréquent de donner des conditions aux limites en précisant les valeurs et aux instants et . Il y a alors fréquemment existence et unicité des solutions, mais ce n'est pas toujours vrai. Si ” = 0 L'équation ne possède qu'une seule solution ». On démontre alors que l'ensemble des solutions sont les fonctions f définies sur par où A et B sont des réels quelconques. Pour déterminer A et B, il faut, comme dans le cas précédent posséder deux informations sur f . Si ” < 0 L'équation ne possède pas de solutions réelles mais deux solutions complexes : et conjuguées l'une de l'autre. Il est alors utile de faire une incursion dans les fonctions définies sur et à valeurs dans . Les fonctions et définies par et sont des solutions de l'équation dans cet ensemble. On démontre alors que l'ensemble des fonctions de R dans C solutions de l'équation différentielle sont les fonctions définies par où et sont deux complexes quelconques. Cependant, on cherche encore des fonctions à valeurs dans R . On note alors . Les fonctions et s'écrivent alors . On peut alors remarquer que les fonctions et définies par sont encore des solutions de l'équation différentielles mais à valeurs dans R . On démontre alors qu'elles engendrent l'ensemble des solutions à valeurs dans R cest-à-dire que cet ensemble est formé des fonctions définies sur R par où A et B sont deux réels quelconques. Remarque : on peut écrire cette solution sous la forme : , q et r sont deux réels quelconques (cette forme est parfois plus pratique). La détermination de A et B (ou q et r ) se fait, comme dans les cas précédents, par la donnée de deux informations sur f . Équation à coefficients non constants Il s'agit d'une équation de la forme , où cette fois a , b , c sont des fonctions numériques, supposées continues sur l'intervalle d'étude I , la fonction a ne s'annulant en aucun point de I .
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Compatible OS 3.0 et ultérieurs.
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À coefficients constants Elles sont de la forme où a , b et c sont des réels, a non nul. On les rencontre, entre autres, dans la modélisation de mouvement avec force de rappel (type ressort ), avec ou sans amortissement (voir Exemples d'équations différentielles ) ou encore dans les circuits électriques comportant une inductance et un condensateur . On cherche des solutions sous forme exponentielle, c'est-à-dire telles que . Une telle fonction sera solution de l'équation différentielle si et seulement si » est solution de Cette équation est appelée équation caractéristique de l'équation différentielle. Comme pour toute équation du second degré , trois cas se présentent selon le signe du discriminant ”. Si ” > 0 L'équation possède deux solutions et . L'équation possède au moins deux fonctions exponentielles solutions et . On démontre que ces deux solutions engendrent l'ensemble des solutions. C'est-à-dire que l'ensemble des solutions sont les fonctions définies sur par où et sont deux réels quelconques. Pour déterminer ces deux constantes, il est naturel de donner deux informations sur la fonction cela se fait en général en donnant des conditions initiales en un point , c'est-à-dire en précisant les valeurs et de y et y' à cet instant. Dans ce cas l'existence et l'unicité de la solution vérifiant ces conditions initiales sont garanties. pour de nombreux problèmes physiques, il est fréquent de donner des conditions aux limites en précisant les valeurs et aux instants et . Il y a alors fréquemment existence et unicité des solutions, mais ce n'est pas toujours vrai. Si ” = 0 L'équation ne possède qu'une seule solution ». On démontre alors que l'ensemble des solutions sont les fonctions f définies sur par où A et B sont des réels quelconques. Pour déterminer A et B, il faut, comme dans le cas précédent posséder deux informations sur f . Si ” < 0 L'équation ne possède pas de solutions réelles mais deux solutions complexes : et conjuguées l'une de l'autre. Il est alors utile de faire une incursion dans les fonctions définies sur et à valeurs dans . Les fonctions et définies par et sont des solutions de l'équation dans cet ensemble. On démontre alors que l'ensemble des fonctions de R dans C solutions de l'équation différentielle sont les fonctions définies par où et sont deux complexes quelconques. Cependant, on cherche encore des fonctions à valeurs dans R . On note alors . Les fonctions et s'écrivent alors . On peut alors remarquer que les fonctions et définies par sont encore des solutions de l'équation différentielles mais à valeurs dans R . On démontre alors qu'elles engendrent l'ensemble des solutions à valeurs dans R cest-à-dire que cet ensemble est formé des fonctions définies sur R par où A et B sont deux réels quelconques. Remarque : on peut écrire cette solution sous la forme : , q et r sont deux réels quelconques (cette forme est parfois plus pratique). La détermination de A et B (ou q et r ) se fait, comme dans les cas précédents, par la donnée de deux informations sur f . Équation à coefficients non constants Il s'agit d'une équation de la forme , où cette fois a , b , c sont des fonctions numériques, supposées continues sur l'intervalle d'étude I , la fonction a ne s'annulant en aucun point de I .
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