Maths Spé Ch 1
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Auteur Author: The K
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Mis en ligne Uploaded: 09/10/2012 - 21:20:37
Uploadeur Uploader: The K (Profil)
Téléchargements Downloads: 431
Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a7913
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Description
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Compatible OS 3.0 et ultérieurs.
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Maths spé : Ch 1 : Divisibilité I) Divisibilité dans Z (entiers relatifs) Def : pour b =!=0, b divise a (noté b/a) Ssi il existe k appartenant à Z tel que a = kb ; a est un multiple de b Ex : 6 divise -42 car -42 = 6 * -7 Pro : pour a =!= 0 et b =!= 0 Si b divise a et a divise b alors a = b ou a = -b Démo : Si a = kb et b = k'a Donc ab = (kb)(k'a) ab = kk' * ab 1 = kk' (donc k=k'=1 ou k=k'=-1) Rq : b =!= 0 divise 0 b =!= 0 divise b Pro : a,b,c entiers relatifs avec b =!= 0 1) Si b divise a alors b divise ac 2) c =!= 0 Si b divise c alors bc divise ac 3) a =!= 0 Si b divise a et a divise c alors b divise c Démos : 1) a = kb donc ac = kbc = (kc)b 2) a = kb donc ac = kbc = k(bc) 3) a = kb et c = k'a donc c = k'(kb) = b(kk') Pro : Pour b =!= 0 : Si b divise a et c, alors b divise a+c b divise a-c b divise 2a+3c b divise ±a+²c (ou ± et ² appartenantà Z) Démo : si a = kb et c = k'b alors ±A + ²C = ±(kb) +²(k'b) = (±k + ²k')b C'est à dire b divise ±a et ²c Ex : pour n appartenant à N on s'intéresse aux diviseurs communs à A = 2n+3 et B = 3n+2 Si d divise A et B donc d divise 3A-2B 3A-2B = (6n+9) - (6n+4) = 5 Donc d = 1 ou 5. On s'intéresse à la division par 5, on étudie les cas : n = 5k A = 10k + 3 d = 1 n = 5k + 1 A = 10k + 5 et b = 15k + 5 d = 5 ou d = 1 n = 5k + 2 A = 10k + 7 d = 1 n = 5k + 3 A = 10k + 9 d = 1 n = 5k + 4 A = 10k + 11 d = 1 Rq : a^3 - b^3 = (a-b)(a²+ab+b²) a^3 + b^3 = (a+b)(a²-ab+b²) II) Nombres premiers Def : p appartenant à N est premier ssi p a exactement 2 diviseurs dans N Ni 0 Ni 1 ne sont premiers. Liste : 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,... Comment reconnaitre un nombre premier ? On essaie de le diviser par les nombres premiers (ou pas) plus petits que lui. On s'arrête à Rac N. Ex : 157 est-il premier ? Il suffit de le diviser par 2,3,5,7,11 (13² > 157). L'essai confirme que 157 est premier. Pro : l'ensemble des nombres premiers est infini. Démo : si l'ensemble est fini, il y a un plus grand P. Alors on pose N = 2*3*5*7*11*...*P+1 On voit N > P et N n'est divisible ni par 2,3,5,...,P. Donc N est premier (démo. par l'absurde). Donc l'ensemble est infini. Décomposition (unique) en facteurs premiers de n>=2 On peut écrire n = p^k1 * p^k2 * ... * p^kn Ex : on divise au maximum par les premiers croissants : 10863 / 3 = 3621 / 3 = 1207 / 17 = 71 / 71 = 1 Donc 10863 = 3*3*17*71 Pro : si p premier divise a*b alors p divise a ou p divise b III) Division euclidienne a) Dans N On veut formaliser 123/7 = 17*7+4 (dividende = quotient * diviseur + reste) Pro : Pour a appartenant à N et b appartenant à N*, il existe un unique couple (q,r) d'entiers naturels, tels que a=b*q+r avec 0=<r<b q est le quotient et r le reste. Style d'exercice : Reste de la division de n²+3n-5 par n. n²+3n+5 = n(n+3) + 5 a = b q + r Quotient : n+3 Reste : 5 (vrai si 0=<5<n) On étudie n=1 : reste 0 n = 2 : N=15 r=1 n = 3 : N=23 r=2 n = 4 : N=33 r=1
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Maths spé : Ch 1 : Divisibilité I) Divisibilité dans Z (entiers relatifs) Def : pour b =!=0, b divise a (noté b/a) Ssi il existe k appartenant à Z tel que a = kb ; a est un multiple de b Ex : 6 divise -42 car -42 = 6 * -7 Pro : pour a =!= 0 et b =!= 0 Si b divise a et a divise b alors a = b ou a = -b Démo : Si a = kb et b = k'a Donc ab = (kb)(k'a) ab = kk' * ab 1 = kk' (donc k=k'=1 ou k=k'=-1) Rq : b =!= 0 divise 0 b =!= 0 divise b Pro : a,b,c entiers relatifs avec b =!= 0 1) Si b divise a alors b divise ac 2) c =!= 0 Si b divise c alors bc divise ac 3) a =!= 0 Si b divise a et a divise c alors b divise c Démos : 1) a = kb donc ac = kbc = (kc)b 2) a = kb donc ac = kbc = k(bc) 3) a = kb et c = k'a donc c = k'(kb) = b(kk') Pro : Pour b =!= 0 : Si b divise a et c, alors b divise a+c b divise a-c b divise 2a+3c b divise ±a+²c (ou ± et ² appartenantà Z) Démo : si a = kb et c = k'b alors ±A + ²C = ±(kb) +²(k'b) = (±k + ²k')b C'est à dire b divise ±a et ²c Ex : pour n appartenant à N on s'intéresse aux diviseurs communs à A = 2n+3 et B = 3n+2 Si d divise A et B donc d divise 3A-2B 3A-2B = (6n+9) - (6n+4) = 5 Donc d = 1 ou 5. On s'intéresse à la division par 5, on étudie les cas : n = 5k A = 10k + 3 d = 1 n = 5k + 1 A = 10k + 5 et b = 15k + 5 d = 5 ou d = 1 n = 5k + 2 A = 10k + 7 d = 1 n = 5k + 3 A = 10k + 9 d = 1 n = 5k + 4 A = 10k + 11 d = 1 Rq : a^3 - b^3 = (a-b)(a²+ab+b²) a^3 + b^3 = (a+b)(a²-ab+b²) II) Nombres premiers Def : p appartenant à N est premier ssi p a exactement 2 diviseurs dans N Ni 0 Ni 1 ne sont premiers. Liste : 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,... Comment reconnaitre un nombre premier ? On essaie de le diviser par les nombres premiers (ou pas) plus petits que lui. On s'arrête à Rac N. Ex : 157 est-il premier ? Il suffit de le diviser par 2,3,5,7,11 (13² > 157). L'essai confirme que 157 est premier. Pro : l'ensemble des nombres premiers est infini. Démo : si l'ensemble est fini, il y a un plus grand P. Alors on pose N = 2*3*5*7*11*...*P+1 On voit N > P et N n'est divisible ni par 2,3,5,...,P. Donc N est premier (démo. par l'absurde). Donc l'ensemble est infini. Décomposition (unique) en facteurs premiers de n>=2 On peut écrire n = p^k1 * p^k2 * ... * p^kn Ex : on divise au maximum par les premiers croissants : 10863 / 3 = 3621 / 3 = 1207 / 17 = 71 / 71 = 1 Donc 10863 = 3*3*17*71 Pro : si p premier divise a*b alors p divise a ou p divise b III) Division euclidienne a) Dans N On veut formaliser 123/7 = 17*7+4 (dividende = quotient * diviseur + reste) Pro : Pour a appartenant à N et b appartenant à N*, il existe un unique couple (q,r) d'entiers naturels, tels que a=b*q+r avec 0=<r<b q est le quotient et r le reste. Style d'exercice : Reste de la division de n²+3n-5 par n. n²+3n+5 = n(n+3) + 5 a = b q + r Quotient : n+3 Reste : 5 (vrai si 0=<5<n) On étudie n=1 : reste 0 n = 2 : N=15 r=1 n = 3 : N=23 r=2 n = 4 : N=33 r=1
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