QCC Episode 10 : Suites récurrentes

→ **MyCalcs** profile · by **critor** » 27 Aug 2015, 21:55

Quelle Clignotrice Choisir - Episode 10 (liste)
Suites récurrentes

Sommaire :

Introduction
Tests
Scores
Bilan

1) Introduction :Go to top

Bien chers tous. Nous voici réunis ce soir pour ce nouvel épisode de Quelle Clignotrice Choisir, la web-série pour bien commencer cette rentrée 2015 au lycée.
Pour cet épisode, nous allons parler des suites récurrentes, un objet mathématique introduit en classe de Première dans les séries générales et technologiques.

Les suites récurrentes sont usuellement données au lycée par :

le premier terme, presque toujours au rang 0, parfois au rang 1 ou à un autre rang
la relation de récurrence, défnissant usuellement le terme de rang n+1

Nous prendrons par la suite comme exemple la suite de nombres (5 11 23 47 95...), suite qui sera usuellement définie dans nos livres par

$mathjax$\begin{cases} u_0=5 \\ u_{n+1}=2\times u_n +1 \end{cases}$mathjax$

.

Ce qui nous intéresse ici, c'est donc de savoir quels modèles de cette rentrée 2015 permettent de définir cette suite, et si possible, sans avoir à apporter de transformations aux relations précédentes.

2) Tests :Go to top

L'application 'RECUR' intégrée aux Casio Graph 35+E et Graph 75+E permet de définir la suite en question sans aucune transformation mathématique.
Les TI-82 Advanced, TI-83 Premium CE et TI-84 Plus CE-T ne permettent pas de saisir directement le terme de rang n+1.
Elles exigent la saisie du terme de rang n, nécessitant donc une transformation de l'écriture pouvant générer nombre d'erreurs.
Même problème avec les TI-Nspire.
Et même problème avec la HP-Prime.
La Casio Graph 25+E est hélas dépourvue d'une telle application.

3) Scores :Go to top

Sur un total de 1 point, nous enlèverons 0.5 point pour une modification à apporter à la relation de récurrence.

Modèles	Suites récurrentes
TI-82 Advanced	+0,5
TI-83 Premium CE	+0,5
TI-84 Plus CE-T	+0,5
TI-Nspire	+0,5
TI-Nspire TouchPad	+0,5
TI-Nspire CAS TouchPad	+0,5
TI-Nspire CX	+0,5
TI-Nspire CX CAS	+0,5
Casio Graph 25+E	0
Casio Graph 35+E	+1
Casio Graph 75+E	+1
HP-Prime	+0,5

4) Bilan :Go to top

Les pièges :
Laisse tomber la Casio Graph 25+E incapable de traiter des suites récurrentes.
Un comble alors que l'emballage indique "convient aux séries non scientifiques", et que l'on fait beaucoup de suites en Première ES/L ou technologique, particulièrement dans les séries STMG, STI2D et STL !

Les bons choix :
Les seuls bons choix car minimisant les risques d'erreurs de saisie sont les Casio Graph 35+E et Casio Graph 75+E.

Au revoir, et à très bientôt pour la suite de Quelle Clignotrice Choisir !

→ **MyCalcs** profile · by **parisse** » 28 Aug 2015, 06:51

critor, je pense qu'il faut mentionner que le CAS de la HP Prime permet de donner l'expression en fonction de n pour certaines suites recurrentes.
rsolve(u(n+1)=2*u(n)+1,u(n),u(0)=5)
Ca fonctionne aussi pour des systemes de suites comme on peut en avoir en specialite maths de terminale S.
A ma connaissance, c'est la seule calculatrice qui le fait.

→ **MyCalcs** profile · by **parisse** » 28 Aug 2015, 18:50

J'ajoute que le fait de saisir u(n+1) en fonction de u(n) au lieu de u(n) en fonction de u(n-1) ne me semble pas meriter la moitie des points. En effet, les suites recurrentes interessantes sont quasiment toutes des suites autonomes, definies par u(n+1)=f(u(n)), elles ne dependent pas explicitement de n et dans ce cas ca n'a pas d'importance. Avoir une expression explicite quand c'est possible me semble quand meme plus important.

My calculator programs · by **Adriweb** » 28 Aug 2015, 19:47

Je ne la connaissais pas, mais je trouve cette fonction "rsolve" bien pratique

Elle est aussi disponible sur Mathematica par exemple.

Je ne crois pas que sur Nspire, il y ait une telle fonctionnalité, c'est dommage.
L'algo serait-il réimplémentable en Basic ?

→ **MyCalcs** profile · by **critor** » 28 Aug 2015, 20:03

On rencontre au niveau lycée dans des activités, TP ou problèmes de recherche des suites récurrentes de type u(n+1)=f(n,u(n)) dont la saisie sera pénible ici.
Au niveau BAC on peut également rencontrer en cours d'exercice des suites de type u(n+2)=f(u(n),u(n+1)).

Je n'avais ici que trois scores différents à mettre - donc j'ai choisi 1point, 0.5point et 0point - je ne me suis pas posé davantage de questions que ça.
Je peux remplacer 0.5 par 0.75, mais qu'est-ce que ça va changer ?

Probablement rien - malgré leur avance ici les Casio sont mal parties au classement pour plusieurs autres raisons, et les TI-82 Advanced et TI-84 Plus CE-T n'ont aucune chance de remonter la pente en maintenant 5 épisodes.
Quant aux autres modèles comparables, ils obtiendraient ici également 0.75point, ce qui ne changera donc rien au classement.

→ **MyCalcs** profile · by **parisse** » 29 Aug 2015, 06:42

Il ne doit quand meme pas y avoir tant que ca de suites recurrentes non autonomes, en tout cas qui aient un interet, a part bien sur la factorielle et diverses declinaisons. Pour les suites recurrentes a 2 crans, ca doit etre encore plus rare d'avoir une relation dependant explicitement de n.
De mon point de vue, la saisie de u(n) en fonction de u(n-1) ou u(n+1) en fonction de u(n) est vraiment un detail (si je notais ca comme une copie, je mettrais un + la-dessus, mais pas la moitie des points), nettement moins important que traiter des systemes de suite : est-ce possible sur tous les modeles qui ont une application dediee aux suites recurrentes ? ou disposer de rsolve.

→ **MyCalcs** profile · by **annales2maths** » 29 Aug 2015, 07:49

Si la "gymnastique" pour transformer une suite récurrente de la forme u(n+1)=f(u(n)) n'est, sur le principe, pas très difficile, elle est source d'erreur(s) et pas du tout appréciée des lycéens (et possesseurs de TI sans programme particulier pour revenir à une forme plus sympatique) que j'ai rencontrés en cours jusqu'alors.
Il y a ceux que ça rebute de décaler d'un cran l'indice et ceux, un peu étourdis, qui modifient (dans des formules un peu compliquées) l'indice une fois mais pas deux.

→ **MyCalcs** profile · by **parisse** » 29 Aug 2015, 10:30

On ne doit pas parler de la meme chose, car si une suite recurrente est definie par u(n+1)=f(u(n)) alors u(n)=f(u(n-1)), donc il n'y a aucune gymnastique a faire. Le cas qui necessite de la gymnastique, c'est u(n+1)=f(n,u(n)). Mais ce type de suite a peu d'applications en maths, comme ca, je ne vois que les suites de type factorielle (produits et sommes deguisees). Alors que les suites autonomes ou f ne depend pas explicitement de n ont enormement d'applications (suites arithmetico-geometriques, methode du point fixe, de Newton...). Ce sont aussi ces suites qui ont une representation graphique en escargot ou toile d'araignee, a qui on peut appliquer des theoremes de convergence/divergence...

→ **MyCalcs** profile · by **critor** » 29 Aug 2015, 10:39

La gymnastique est de remplacer toutes les occurrences de "n" dans la relation de récurrence donnée, par des "n-1".

Cela peut aussi nécessiter de rajouter des parenthèses lors de la saisie sur calculatrice afin de respecter les priorités opératoires, ce qui augmente encore les possibilités d'erreurs.

→ **MyCalcs** profile · by **annales2maths** » 29 Aug 2015, 11:03

Si la suite

$mathjax$(u_n)$mathjax$

est définie avec une relation de récurrence du type

$mathjax$u_{n+1} =\dfrac{2-u_n}{1+u_n}$mathjax$

je pense que beaucoup de lycéens, ayant une calculatrice ne gérant pas les suites comme les Casio le font, commettront des erreurs. Comme le disait Critor, il faut penser à modifier toutes les occurrences de

$mathjax$n$mathjax$

et à moins d'écrire sur un brouillon la relation de récurrence liant le terme d'indice

$mathjax$n$mathjax$

et le terme d'indice

$mathjax$n-1$mathjax$

on a sous les yeux une formule qui nous incite à commettre des erreurs (moi le premier, je me suis fait avoir

)