Bilan QCC 2021 : Quelle Calculatrice Choisir ?

[critor]

Autre nouveau champ dans le tableau comparatif, section Moteur calcul.

Vous avez maintenant aussi la précision des calculs en virgule flottante à l'écran/appli de calcul (hors Python donc), à la fois en nombre de chiffres significatifs et en nombre de bits.
https://tiplanet.org/forum/compare.php?mode=QCC2021

Elle se détermine en exécutant l'algorithme suivant, ici traduit en Python pour une meilleure lisibilité :

Code: Select all

def precm(b):
  k,b=0,float(b)
  while 1+b**-k-1>0:
    k+=1
  return k

Appels precm(10) pour le nombre de chiffres significatifs, et precm(2) pour le nombre de bits.

Je n'ai pas réussi à la déterminer sur NumWorks car je n'arrive pas à contourner le moteur de calcul exact de la machine.

[critor]

Précision bien évidemment complétée pour tous les modèles que j'ai sous la main, pas juste ceux affichés par défaut en mode QCC.

Cela m'a permis de me rendre compte que l'on trouve quelques variations au début des TI-z80, et pas toujours dans le sens auquel on s'attendrait intuitivement.

• TI-81 : calcul flottant sur 41 bits (13 chiffres significatifs)
• TI-85/86 mais aussi TI-82 : on passe à 45 bits (14 chiffres significatifs)
• TI-83 et ultérieures : on tombe au plus bas à 40 bits (13 chiffres significatifs) et on ne s'en est jamais relevé depuis

https://tiplanet.org/forum/compare.php?.81,82,85,86,83,83p

[Opoint]

Je n'ai pas réussi à la déterminer sur NumWorks car je n'arrive pas à contourner le moteur de calcul exact de la machine.

Je vous propose dans l'application Calculs de comparer

$mathjax$log(ln(1+10^{-14}))$mathjax$

à

$mathjax$log(ln(1+10^{-15}))$mathjax$

. Dans le deuxième cas le calcul échoue. Testé à l'instant sur les simulateurs en ligne (Numworks et Upsilon). Je suppose que l'application Suites peut servir à automatiser la chose. Dans l'application Python on peut aller un chiffre plus loin : l'échec est observé à

$mathjax$10^{-16}$mathjax$

.

A titre d'amusement, le graph de

$mathjax$-log(ln(1+10^{-x}))$mathjax$

pour

$mathjax$x$mathjax$

variant de 2 à 15 est aussi instructif, surtout sur Numworks par rapport à d'autres calculettes!

(et bonjour à tout le monde , c'est mon premier post. O. )

[critor]

Effectivement, le logarithme semble être une piste intéressante pour forcer la NumWorks à évaluer avec son moteur de calcul en virgule flottante.
Merci beaucoup.

Du 15 chiffres significatifs on dirait, comparable à ce que sortait la concurrence avec l'autre test jusqu'à présent :


Par contre, du 64 bits me surprend davantage pour juste 15 chiffres significatifs :

[parisse]

Je ne pense pas que c'est du flottant 64 bits de mantisse (comme les long double 80 bits sur FPU x86).
Quand on evalue log2(2^63+1) ca met un temps decelable, il y a certainement un calcul en arithmetique entiere exacte qui est fait au prealable, une factorisation partielle, et un calcul en flottants de 3*log2(3)+log2(19)+log2(43)+log2(5419)+log2(77158673929)-63
Ce qui donne bien 7.105...e-15 avec des flottants 64 bits ayant 53 bits de mantisse.
Je ne sais pas jusqu'ou la Numworks factorise les entiers, mais ils peuvent surement extraire les facteurs 3, 19 et 43 et le calcul flottant 53 bits de 3*log2(3)+log2(19)+log2(43)+log2(5419*77158673929)-63
donne aussi 7.1e-15
Pour 2^64+1, je ne sais pas s'ils arrivent a extraire le facteur 274177, meme si c'etait le cas on a log2(274177.)+log2(67280421310721.)-64 qui renvoie 0.0 avec des flottants 53 bits.

[parisse]

P.S.: la valeur renvoyee est bien sur completement foireuse, la bonne valeur est a l'ordre 1 du developpement de Taylor donnee par 2^(-n)/ln(2) soit 1.56e-19

[Opoint]

Étant donné que le 7,105427358e-15 équivaut pile à

$mathjax$2^{-47}$mathjax$

dans l'application Calculs, il faut en effet conclure à 47 bits et non 64. C'est pour celà que j'aime bien enchaîner les logarithmes, pour garder l'aspect pédagogique, ainsi

$mathjax$log_2(ln(1+2^{-47}))$mathjax$

donne -47 et

$mathjax$log_2(ln(1+2^{-4\bf 8}))$mathjax$

donne … encore -47 au lieu de -48 : la précision du calcul plafonne. Le fait que ce calcul résulte d'étapes intermédiaires est probablement ce qui explique la perte de précision par rapport à Python … et à l'application Suites. Car j'avais supposé un peu vite : l'application Suites indique 15 chiffres / 52 bits, ce qui est cohérent avec l'application de precm à la main dans la console Python (pas encore créé de script, Python est une nouveauté pour moi!). Que choisir entre la précision dans l'application Calculs et celle trouvée dans Suites / Python? Vaste question; heureusement c'est critor qui décide

[parisse]

Ca n'a rien a voir, car on obtient la meme chose en Python:
log(log((2**48+1.0)/2**48))/log(2)
renvoie -48
alors que
log(log(2**48+1.0)-48*log(2.0))/log(2)
renvoie -47
En fait log(2**48+1) vaut environ 48*log(2), on va donc soustraire 2 flottants de taille 33 separes par 2^(-48) en erreur absolue, soit une ecart relatif d'environ 2^-53 qui est la precision relative des flottants (double), on ne peut donc pas aller plus loin (remplacer 48 par 49 renvoie 0 pour la difference des 2 log). Le 2eme calcul est moins precis que le premier (ou on peut aller jusqu'a 52).

[critor]

L'entrée de gamme Casio a maintenant été testée et complétée en bdd jusqu'en 1999 (sauf test d'autonomie qui est un peu plus lourd à mettre en place).
France : Graph 25 et successeurs
Monde : fx-7400G+ et successeurs

Avant les Graph 25+Pro et fx-7400GII de 2009/2010, Casio utilisait un processeur 16 bits Hitachi HCD62121 cadencé à 4,3 MHz.
Entre 1999 et 2020, les performances ont été multipliées par 13 !

[DoOmnimaga]

Petite correction pour la Graph 25 et 25+ (j'ignore si c'est le cas pour la 25+Pro et 25+E): L'écran fait 80x48 pixels. Ceci a été changé avec la Graph 25+E II je crois.