Aide exos de maths

[Cudilov]

Bonjour, je bloque sur l'exo suivant: p appartient à ]0,1]. Pour tout (x,y) appartenant à (IR+)², mq (x+y)^p <= x^p+y^p. Je pensais partir sur l'etude de f:x --> exp(p*ln(x+y))/(exp(p*ln(x))+exp(p*ln(y))) m'enfin j'ai l'impression de plus m'embrouiller qu'autre chose..

[Bisam]

Tu connais la convexité ?
Si tu connais, utilise la concavité de la fonction

$mathjax$t\mapsto t^p$mathjax$

sur [0,1].
Sinon, tu peux commencer par étudier la fonction

$mathjax$t\mapsto t^p+(1-t)^p$mathjax$

sur [0,1].

[Cudilov]

On a commencé à étudier la convexité, mais j'ai un peu de mal à m'en servir..
Il me semble que t->t^p est concave sur [0,1] pour 0<p<=1, même si je ne sais pas comment le démontrer. Même avec ça, je ne vois pas trop comment avancer..

[Bisam]

Effectivement, la fonction

$mathjax$t\mapsto t^p$mathjax$

est concave sur [0,1] lorsque

$mathjax$p\in [0,1]$mathjax$

.
Tu peux ensuite utiliser la définition de la convexité (ou plutôt de la concavité) en posant

$mathjax$t=\frac{x}{x+y}$mathjax$

.

[Cudilov]

Je ne suis pas sur, mais la def de f convexe, il me semble que c'est pour tout t appartenant à [0,1], pour tout (x,y) appartenant à I², f(tx+(1-t)y)<=tf(x)+(1-t)f(y)
Donc si g(x) est ccv, comme dans le cas de l'exo, je peux appliquer la formule précédente avec -g(x)?
Je ne sais pas si c'est ça la définition de la concavité dont tu parles.

[Bisam]

Oui, c'est ça.
Mais en fait, j'ai finalement un doute... je pense qu'il faut aussi utiliser la croissance de la fonction... et peut-être même que ce n'est pas la bonne fonction.

Bref, essaie plutôt mon autre indication.

[Cudilov]

Je trouve qu'elle est croissante sur [0,1/2] et décroissante sur [1/2,1] pour tout 0<p<=1
Mais je bloque toujours ensuite, bref tan pis, je verrais à la correction, j'aurai cherché au moins. Merci pour ton aide Bisam.

[Bisam]

Tu pouvais en déduire qu'elle est toujours supérieure ou égale à 1 (valeur en t=0 et t=1).
Ensuite, tu appliques le résultat en t=x/(x+y) (ou en t=y/(x+y), au choix) et c'est gagné.